Міністерство освіти і науки України Національний університет “Львівська політехніка” Інститут телекомунікацій, радіоелектроніки та електронної техніки Кафедра теоретичної радіотехніки і радіовимірювань
Звіт до лабораторної роботи №4 на тему: “ СИНТЕЗ СИГНАЛІВ ЗА ФУР’Є ” з предмету “Сигнали та процеси в радіоелектроніці”  1. МЕТА РОБОТИ Метою роботи є вивчення методів аналізу і синтезу складних сигналів за допомогою систем ортогональних елементарних гармонічних функцій. 2. ОСНОВНІ ПОЛОЖЕННЯ З математики відомо, що довільну складну функцію
завжди можна подати у вигляді суми простих (елементарних) функцій
, тобто подати її у вигляді узагальненого ряду Фур’є:
, (1) де
- коефіцієнти узагальненого ряду Фур’є – значення проекцій складної функції
на координатні осі багатовимірного простору, що задаються простими елементарними функціями
. З (1) випливає, що будь який складний сигнал
можна точно описати безмежною сумою зважених ортогональних елементарних сигналів
, тобто розкласти його в узагальнений ряд Фур’є. Проте при практичному розв’язку багатьох інженерних задач замість ряду (1) використовують вкорочений ряд Фур’є:
, (2) який описує заданий сигнал з деякою допустимою похибкою, середньоквадратичне значення якої залежить від числа врахованих коефіцієнтів ряду N і оцінюється виразом:

(3) Величина ( називається середньою квадратичною похибкою апроксимації (подання) рядом
заданого сигналу s(t). Якщо для неперервного сигналу можна вибрати ai так, щоб при збільшенні кількості членів ряду величина ( ставала достатньо малою, то сукупність ортого-нальних функцій {fi (t)} називається повною, а ряд (2) в цьому випадку називається збіжним в середньому. В загальному випадку елементарні функції
можуть бути довільними, проте, якщо потрібно забезпечити умову взаємної незалежності значень коефіці-єнтів
узагальненого ряду Фур’є, елементарні функції
повинні задовольняти умову ортогональності на деякому відрізку часу (t1, t2):
, (4) де
У цьому випадку сукупність функцій називають системою ортогональних функцій на відрізку (t1, t2). Якщо при цьому додатково виконується умова
, (5) то систему елементарних функцій {
} називають ортонормованою. В даному випадку, для періодичних сигналів
(n – довільне ціле число; Т – період повторення) елементарні функції повинні задовольняти умову періодичності
. Неважко довести, що використання при розкладі сигналу
в ряд (1) елементарних ортогональних або ортонормованих функцій
дозволяє одноз-начно визначати коефіцієнти аі ряду у вибраному координатному базисі:
. (6) Аналіз показує, що визначення коефіцієнтів ряду аі за формулою (4) забезпечує мінімальну середню квадратичну похибку апроксимації сигналу рядом (1) або (2). Вибір виду ортогональних функцій, за якими проводиться розклад складного сигналу на суму елементарних сигналів залежить від форми і властивостей склад-ного сигналу. Так для періодичних сигналів, миттєве значення яких монотонно змінюється в часі, найчастіше використовується система гармонічних функцій з кратними аргументами (
і (або)
,
) та система експоненціальних функцій з кратними комплексними аргументами (
,
). У цьому випадку сигнал
може бути поданий рядом:
або
, (7) в яких коефіцієнти
,
,
та
розраховуються за допомогою формул:
;
;
; (8)
;
;
. Ряд (7) подає коливання
у вигляді суми постійної складової (
,
або
), та гармонічних коливань (з амплітудами
,
,
і початковими фазами
)...